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Wie man gewöhnliche Differentialgleichungen mit SciPy löst.

Hier ist eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie man gewöhnliche Differentialgleichungen mit SciPy löst.

Einführung​

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) sind mathematische Gleichungen, die die Beziehung zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen beschreiben. Das Lösen dieser Gleichungen ermöglicht es uns, das Verhalten verschiedener Systeme in Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Biologie zu verstehen.

SciPy ist eine leistungsstarke wissenschaftliche Python-Bibliothek, die verschiedene Tools zur Lösung von Differentialgleichungen bereitstellt. In diesem Tutorial werden wir den Prozess der Lösung von ODEs mit dem Modul scipy.integrate behandeln.

Schritt 1: Erforderliche Module importieren​

Der erste Schritt besteht darin, die erforderlichen Module aus SciPy zu importieren. Wir verwenden das Modul scipy.integrate, um die Differentialgleichungen zu lösen. Zusätzlich importieren wir NumPy zur Durchführung numerischer Operationen und Matplotlib zur Visualisierung.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

Schritt 2: Die ODE definieren​

Als nächstes müssen wir die ODE definieren, die wir lösen möchten. Die ODE kann als ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung dargestellt werden. Betrachten wir zum Beispiel die folgende ODE:

dy/dt = f(t, y)

Hier ist y die abhängige Variable, t die unabhängige Variable (Zeit) und f(t, y) eine bekannte Funktion, die die Beziehung zwischen t, y und deren Ableitungen beschreibt.

Definieren wir eine einfache ODE als Beispiel:

dy/dt = -2y

Wir können diese ODE als Python-Funktion definieren, die die unabhängige Variable t und die abhängige Variable y als Argumente annimmt und die Ableitung dy/dt zurückgibt.

def ode(t, y):
    return -2 * y

Schritt 3: Die ODE lösen​

Nun können wir die solve_ivp-Funktion aus SciPy verwenden, um die ODE numerisch zu lösen. Diese Funktion erfordert die folgenden Argumente:

  • Die ODE-Funktion (ode in unserem Fall)
  • Die Anfangsbedingungen (t0 und y0)
  • Den Zeitbereich, für den wir die ODE lösen möchten (t_span)
t0 = 0  # Anfangszeit
y0 = 1  # Anfangswert von y
t_span = (0, 5)  # Zeitbereich

sol = solve_ivp(ode, t_span, [y0], t_eval=np.linspace(t_span[0], t_span[1], 100))

Im obigen Code übergeben wir die ODE-Funktion ode, den Zeitbereich t_span, den Anfangswert von y y0 und die Anfangszeit t0 an die solve_ivp-Funktion. Wir geben auch t_eval an, um die Lösung zu bestimmten Zeitpunkten zu erhalten.

Schritt 4: Die Lösung analysieren​

Sobald wir die Lösung haben, können wir sie analysieren und visualisieren. Die von solve_ivp zurückgegebene Lösung enthält die Zeitpunkte und die entsprechenden Werte von y. Wir können darauf zugreifen, indem wir sol.t und sol.y verwenden.

print(sol.t)  # Zeitpunkte
print(sol.y)  # Werte von y an den entsprechenden Zeitpunkten

Schritt 5: Die Lösung plotten​

Schließlich können wir die Lösung mit Matplotlib plotten, um das Verhalten von y im Laufe der Zeit zu visualisieren.

plt.plot(sol.t, sol.y[0])
plt.xlabel('Zeit')
plt.ylabel('y')
plt.title('Lösung der ODE')
plt.grid(True)
plt.show()

Im obigen Code verwenden wir plt.plot, um einen Liniengraphen der Lösung zu erstellen. Wir setzen die x-Achse als die Zeitpunkte sol.t und die y-Achse als die Werte von y sol.y[0]. Wir fügen auch Beschriftungen, einen Titel und Gitterlinien zum Diagramm hinzu.

Fazit​

In diesem Tutorial haben wir gelernt, wie man gewöhnliche Differentialgleichungen mit SciPy löst. Wir haben die beteiligten Schritte behandelt, vom Importieren der erforderlichen Module bis zur Visualisierung der Lösung. Jetzt können Sie dieses Wissen anwenden, um komplexere ODEs zu lösen und verschiedene dynamische Systeme zu analysieren.

Denken Sie daran, den Code entsprechend der spezifischen ODE anzupassen, die Sie lösen möchten, und passen Sie die Visualisierung an Ihre Anforderungen an.