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Wie man partielle Differentialgleichungen mit SciPy löst.

Hier ist eine schrittweise Anleitung, wie man partielle Differentialgleichungen mit SciPy löst.

Schritt 1: Importiere die benötigten Bibliotheken​

Um loszulegen, müssen wir die benötigten Bibliotheken importieren. Wir werden die numpy-Bibliothek für numerische Berechnungen und die scipy-Bibliothek zum Lösen der partiellen Differentialgleichungen verwenden.

import numpy as np
from scipy import linalg
from scipy.sparse import diags
from scipy.sparse.linalg import spsolve

Schritt 2: Definiere das Problem​

Als nächstes müssen wir das Problem definieren, indem wir die partielle Differentialgleichung, Randbedingungen und Anfangsbedingungen (falls vorhanden) festlegen. Nehmen wir als Beispiel die Wärmeleitungsgleichung:

∂u/∂t = α ∇²u

wobei u die unbekannte Funktion, t die Zeit, α die thermische Diffusivität und ∇² der Laplace-Operator ist.

Wir werden diese Gleichung in einem eindimensionalen Bereich mit Dirichlet-Randbedingungen lösen.

Schritt 3: Diskretisiere den Bereich​

Um die partielle Differentialgleichung numerisch zu lösen, müssen wir den Bereich diskretisieren. Wir teilen den Bereich in ein Gitter mit N Punkten auf. Definieren wir die Anzahl der Punkte N und die Länge des Bereichs L.

N = 100  # Anzahl der Gitterpunkte
L = 1.0  # Länge des Bereichs

Wir können dann den Gitterabstand dx mit L/N berechnen.

dx = L / N  # Gitterabstand

Schritt 4: Erstelle das Gitter​

Wir können das Gitter erstellen, indem wir die Gitterpunkte x mit numpy definieren.

x = np.linspace(0, L, N+1)  # Gitterpunkte

Schritt 5: Erstelle die Matrizen​

Als nächstes müssen wir die Matrizen erstellen, die die partielle Differentialgleichung repräsentieren. Wir verwenden die Methode der finiten Differenzen, um die Gleichung zu diskretisieren.

A = diags([-1, 2, -1], [-1, 0, 1], shape=(N-1, N-1)).toarray()  # Laplace-Matrix

Schritt 6: Setze die Randbedingungen um​

Wir müssen die Randbedingungen auf die Matrizen anwenden. Für Dirichlet-Randbedingungen können wir die Matrizen A und b ändern, um die Werte der Randpunkte zu berücksichtigen.

# Dirichlet-Randbedingungen anwenden
A[0, 0] = 1
A[N-2, N-2] = 1

# Randwerte auf den rechten Vektor b anwenden
b[0] = Randwert_links
b[N-2] = Randwert_rechts

Schritt 7: Löse das Gleichungssystem​

Wir können das Gleichungssystem jetzt mit der Funktion spsolve aus scipy.sparse.linalg lösen.

u = spsolve(A, b)

Schritt 8: Visualisiere die Ergebnisse​

Schließlich können wir die Ergebnisse mit matplotlib visualisieren.

import matplotlib.pyplot as plt

# Lösung plotten
plt.plot(x[1:N], u)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('u')
plt.title('Lösung der Wärmeleitungsgleichung')
plt.show()

Und das ist es! Das ist ein grundlegendes Beispiel, wie man partielle Differentialgleichungen mit SciPy löst. Du kannst den Code entsprechend deinem spezifischen Problem und deinen Randbedingungen anpassen.