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Comment résoudre des équations aux dérivées partielles à l'aide de SciPy.

Voici un tutoriel étape par étape sur la façon de résoudre des équations aux dérivées partielles à l'aide de SciPy.

Étape 1: Importer les bibliothèques nécessaires​

Pour commencer, nous devons importer les bibliothèques nécessaires. Nous utiliserons la bibliothèque numpy pour les calculs numériques et la bibliothèque scipy pour résoudre les équations aux dérivées partielles.

import numpy as np
from scipy import linalg
from scipy.sparse import diags
from scipy.sparse.linalg import spsolve

Étape 2: Définir le problème​

Ensuite, nous devons définir le problème en spécifiant l'équation aux dérivées partielles, les conditions aux limites et les conditions initiales (si applicable). Prenons un exemple d'équation de la chaleur :

∂u/∂t = α ∇²u

où u est la fonction inconnue, t est le temps, α est la diffusivité thermique, et ∇² est l'opérateur laplacien.

Nous allons résoudre cette équation dans un domaine 1D avec des conditions aux limites de Dirichlet.

Étape 3: Discrétiser le domaine​

Pour résoudre l'équation aux dérivées partielles numériquement, nous devons discrétiser le domaine. Nous allons diviser le domaine en une grille avec N points. Définissons le nombre de points N et la longueur du domaine L.

N = 100  # Nombre de points de la grille
L = 1.0  # Longueur du domaine

Nous pouvons ensuite calculer l'espacement de grille dx en utilisant L/N.

dx = L / N  # Espacement de grille

Étape 4: Créer la grille​

Nous pouvons créer la grille en définissant les points de grille x à l'aide de numpy.

x = np.linspace(0, L, N+1)  # Points de la grille

Étape 5: Créer les matrices​

Ensuite, nous devons créer les matrices qui représentent l'équation aux dérivées partielles. Nous utiliserons la méthode des différences finies pour discrétiser l'équation.

A = diags([-1, 2, -1], [-1, 0, 1], shape=(N-1, N-1)).toarray()  # Matrice laplacienne

Étape 6: Appliquer les conditions aux limites​

Nous devons appliquer les conditions aux limites aux matrices. Pour les conditions aux limites de Dirichlet, nous pouvons modifier les matrices A et b pour tenir compte des valeurs des points de bord.

# Appliquer les conditions aux limites de Dirichlet
A[0, 0] = 1
A[N-2, N-2] = 1

# Appliquer les valeurs de bord au vecteur du côté droit b
b[0] = valeur_limite_gauche
b[N-2] = valeur_limite_droite

Étape 7: Résoudre le système d'équations​

Nous pouvons maintenant résoudre le système d'équations en utilisant la fonction spsolve de scipy.sparse.linalg.

u = spsolve(A, b)

Étape 8: Visualiser les résultats​

Enfin, nous pouvons visualiser les résultats en utilisant matplotlib.

import matplotlib.pyplot as plt

# Tracer la solution
plt.plot(x[1:N], u)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('u')
plt.title('Solution de l\'équation de la chaleur')
plt.show()

Et voilà ! C'est un exemple basique de résolution d'équations aux dérivées partielles à l'aide de SciPy. Vous pouvez modifier le code en fonction de votre problème spécifique et de vos conditions aux limites.