SciPy를 사용하여 편미분 방정식을 해결하는 방법

SciPy를 사용하여 편미분 방정식을 해결하는 단계별 튜토리얼을 제공합니다.

단계 1: 필요한 라이브러리 가져오기

시작하기 위해 필요한 라이브러리를 가져와야 합니다. 숫자 계산에는 numpy 라이브러리를 사용하고, 편미분 방정식을 해결하기 위해 scipy 라이브러리를 사용할 것입니다.

import numpy as np
from scipy import linalg
from scipy.sparse import diags
from scipy.sparse.linalg import spsolve

다음으로, 편미분 방정식, 경계 조건 및 초기 조건 (적용 가능한 경우)을 지정하여 문제를 정의해야 합니다. 열방정식의 예를 들어보겠습니다.

∂u/∂t = α ∇²u

여기서 u는 알려지지 않은 함수, t는 시간, α는 열확산성, ∇²는 라플라시안 연산자입니다.

Dirichlet 경계 조건을 가진 1차원 영역에서 이 방정식을 해결하겠습니다.

편미분 방정식을 수치적으로 해결하기 위해 영역을 이산화해야 합니다. 영역을 N개의 점으로 그리드로 나눌 것입니다. 점의 수 N과 영역 길이 L을 정의해보겠습니다.

N = 100  # 그리드 점의 수
L = 1.0  # 영역 길이

그런 다음 dx를 L/N을 사용하여 그리드 간격을 계산할 수 있습니다.

dx = L / N  # 그리드 간격

numpy를 사용하여 그리드 점 x를 정의하여 그리드를 생성할 수 있습니다.

x = np.linspace(0, L, N+1)  # 그리드 점

다음으로, 편미분 방정식을 나타내는 행렬을 생성해야 합니다. 유한 차분법을 사용하여 방정식을 이산화할 것입니다.

A = diags([-1, 2, -1], [-1, 0, 1], shape=(N-1, N-1)).toarray()  # 라플라시안 행렬

행렬에 경계 조건을 적용해야 합니다. Dirichlet 경계 조건의 경우, 경계점의 값을 고려하기 위해 행렬 A와 b를 수정할 수 있습니다.

# Dirichlet 경계 조건 적용
A[0, 0] = 1
A[N-2, N-2] = 1

# 경계 값들을 오른쪽 항 벡터 b에 적용
b[0] = boundary_value_left
b[N-2] = boundary_value_right

이제 scipy.sparse.linalg의 spsolve 함수를 사용하여 방정식의 시스템을 해결할 수 있습니다.

u = spsolve(A, b)

마지막으로, matplotlib를 사용하여 결과를 시각화할 수 있습니다.

import matplotlib.pyplot as plt

# 해결 결과 그래프로 표시
plt.plot(x[1:N], u)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('u')
plt.title('열방정식의 해')
plt.show()

여기까지입니다! 이것은 SciPy를 사용하여 편미분 방정식을 해결하는 기본적인 예제입니다. 코드를 자신의 특정 문제와 경계 조건에 맞게 수정할 수 있습니다.